Bevezetés

iDevice ikon

 „Az ember nem a természet tévedése, és nem automatikusan gondoskodik a túlélésről. Része a nagy játéknak, melynek nem ismerjük a kezdetét. Kénytelen a képességeit úgy fejleszteni, hogy mint játékos fennmaradjon, és ne váljon a véletlen játékszerévé."

(M. Eigen, R. Winkler, 1975.)

 

A valószínűségszámítást megalapozó tananyagban tisztázzuk, hogy megfigyeléseink regisztrálása adatszinten az elemi események csoportokba szervezésén alapul. Az ilyen szervezési munka minimális valószínűségelméleti bevezetőt igényel még akkor is, ha a kombinatorikusan megoldható feladatok készségszintű megoldása a középiskolai tanulmányok része volt. A megfigyelt vagy mintavételezéssel gyűjtött adatok körültekintő kategorizálása, azaz a statisztikus gondolkodásmód egyszer majd ugyanolyan létszükséglet lesz, mint az, hogy valaki írni és olvasni tud.

A matematikai tudományok egy speciális ágazata a valószínűségszámítás, amely a véletlenszerű események megvalósulási lehetőségével foglalkozik. Alkalmazott ága a matematikai statisztika, amely a matematika összes ágazata közül a legnagyobb hatással van a mindennapi életünkre. Mindemellett a matematika egyik leginkább félreértett ága. De ha megfelelően és értelmesen élünk vele, akkor az emberi jólét egyik fő támasza lehet. - mondja ki racionális lelkesedéssel Ian Stewart a matematika-történeti munkáiban.

Korábban kombinatorikus számításokkal próbálták kiókumlálni a szerencsejátékok esélyeit vagy javítani a csillagászati megfigyelések pontosságát. Még a Pascal-háromszög is szerencsejátékkal kapcsolatos esélylatolgatásnak köszönhetően született. Pascal és Fermat 17. századi levélváltásának köszönhetően lett általánosan elfogadott, hogy a félbeszakadt játékot követő osztozkodásnak annak megfelelően kell az egyik játékos javára megtörténnie, amilyen arányban neki volt nagyobb esélye a játék megnyerésére a megszakítás pillanatában. Annak ellenére, hogy a valószínűségszámítás mindig is kínos közelségben volt a szerencsejátékokkal, mára az egyik legszélesebb körben alkalmazott matematikai diszciplína; alkalmazzák az összes kísérleti tudományban, hogy meggyőződjenek arról, hogy a megfigyelésekből levont következtetések valóban fontosak, vagy csak a véletlen egybeesések miatt felbukkanó, látszólagos szabályszerűségek. A természet szabályszerűségeinek megértésére nagyon hatékony út a matematika, és a véletlenszerű eseményekben is vannak számszerűsíthető szabályosságok.

Az első komoly fogalmi probléma a valószínűség korrekt meghatározása volt. Egy adott intervallumba esés (mint a dárdás célbalövés), vagy egy adott egységre jutó véletlen előfordulás (mint beérkezett hívások, hibák előfordulása), esetleg a véletlen előfordulások megjelenése között eltelt idő/távolság csupa olyan megfigyelés, mely végtelen sok értékkel rendelkezik, ezért a kedvező esetek „száma" nem arányítható az összes esetek „számához" a klasszikus értelemben. A µ/µ típusú nehézséget a mérték fogalma segített feloldani.

Az 1930-as években Kolmogorov tette egyértelművé, hogy a valószínűség a megfigyelhető eseményhez hozzárendelt mérték. A valószínűség egy olyan függvény, amely az összes lehetséges eseményhez egy-egy valós számot rendel bizonyos törvényszerűségek mellett. Kolmogorov ugyanakkor lerakta a valószínűségszámítás axiómáit is, amivel kiterjesztette a kedvező/összes arányának fogalmát. „Elég sok kísérletet elvégezve lényegében garantálhatjuk, hogy a sikerek aránya nagyon jól közelítse a valószínűséget" - bizonyította Bernoulli sejtését jóval később Csebisev. Például a szabályos érme feldobása számának megnövelése után a fejek arányának ½ körüli ingadozása beáll, de ezzel együtt a fej-írás abszolút eltérése is egyre nagyobb tud lenni.

 

Például: ha egy hosszú dobássorozat 8 fejjel kezdődik, akkor ezt az ideiglenes rendellenességet fokozatosan elmossa majd a további dobások eredménye. Részben elmossa a 100. dobásig, nagyrészt elmossa az 1000. dobásig, teljesen elmossa az 1000000. dobásig. Tehát nincs szükség arra, hogy a 8 fejet követő dobás „felelősséget vállaljon az előzőleg történtek kompenzálásában".

Egyébként a páros sokszor történő érme-feldobás esetében a fele-fele valószínűség csak várható. Az átlagtól való kicsi eltérés igencsak valószínű, míg a nagyobb eltérés valószínűtlen „normális" esetben - használjuk nagyon gyakran ezt a súlyos szakmai kijelentést, nem is sejtve, hogy mekkora matematikai fegyvertárral megalapozott, viszonylag fiatal tudomány van mögötte.

A véletlen matematikájával önálló főiskolai kurzusok foglalkoznak. Ebben a képzésben megpróbáljuk a véges eseményekkel rendelkező véletlen jelenségekhez való szakszerű hozzáállást elsajátítani, hogy a későbbiekben ezeket helyesen alkalmazzuk például az információelméletben, esetleg könnyebben tanuljunk a végtelen kimenetelű, komoly függvénytani ismeretekre támaszkodó véletlen jelenségekről. Ezennel meghívom az olvasót a bizonytalanság matematikájához való egyfajta magabiztosság megszerzésére.

A tananyagban kidolgozott feladatokat talál, valamint a végén, a fogalomtárban a legfontosabb fogalmakat gyűjtöttük össze.

Kupcsikné F. Ilona, a szerző