Mint tudjuk, nem minden számnak van a szorzásra nézve inverze (hiszen 0-val nem osztunk a valós számok körében sem). Próbáljuk tisztázni, milyen mátrixnak nem lesz inverze!

Emlékszünk, hogy a mátrix sorvektorokból vagy oszlopvektorokból álló alakzat. Ha a mátrix négyzetes, akkor lényegében n darab n-dimenziós vektorból áll.

Az egységmátrix a típusának megfelelő számú és dimenziószámú egységvektorból áll. Az adott dimenzió tetszőleges vektora előállítható az egységvektorok segítségével, hiszen ez az alapja a vektorok koordinátás alakjának.

Három dimenzióban például a v=(1, 3, 0) térbeli vektor a vektorműveletek értelmében azt jelenti, hogy a v pontosan az i, j, k egységvektorok és a megfelelő koordinátaként szereplő számok szorzatának összeadásával áll elő.

v=1*(1, 0, 0)+3*(0, 1, 0)+0*(0, 0, 1)=(1, 3, 0)

Erre azt mondjuk tudományosan, hogy a v vektort három adott számnak három adott vektorral vett lineáris kombinációjaként állítottuk elő. Ez a három adott, nem null-vektor ráadásul lineárisan független, mert nincsenek egy síkban (vagyis nem egy kisebb dimenzióban fekszenek), azaz egyik sem függ a többitől. Ugyanis lehetetlen lenne bármely két vektor kombinálásával megkapni a 3. vektort.

Az u=(1, 2, 3), v=(0, 1, -1) és a legyártott w=(2, 3, 7) lineárisan függők, mert azt a w=2*u - v szabály szerint állítottuk elő. Geometriailag a w nem mutat ki az u és v vektor által meghatározott síkból, tehát a 3 vektor egy síkban fekszik. Valójában nemcsak a w függ ilyenkor az u és v vektoroktól, hanem bármelyik a másik kettőtől. Átrendezéssel azt látjuk, hogy a három vektor lineáris kombinációjában szereplő számok nem mind nullák, és mégis előállították segítségükkel a null-vektort: 2*u - v - w = 0. Amelyik vektor együtthatója nem 0, az a vektor az egyenlet átrendezgetésével kifejezhető a többi vektor kombinációjaként.

Gyakorlat:

• u = 0.5* v +0.5*w = 0.5*(0,1,-1)+0.5*(2,3,7)=(0,0,5,-0.5)+(1,1.5,3.5)=(1,2,3)
• v = 2*u - w = 2*(1,2,3) - (2,3,7)=(2,4,6) - (2,3,7)=(0,1,-1)

A három egységvektor nincs egy síkban, vagyis bármelyik kimutat a másik kettő síkjából, tehát egyik sem függ a többitől. A három egységvektornak kizárólag a csupa nullával vett lineáris kombinációja állítja elő a null-vektort: 0*i + 0*j + 0*k = 0. Az i, j, k lineárisan független rendszert alkot tehát a térben. Az ilyenek alkalmasak arra, hogy a tér tetszőleges vektorát előállítsák. Tudományosan azt mondjuk, hogy n darab lineárisan független vektor bázist alkot az n-dimenziós térben. Mivel ez a három vektor ráadásul egységnyi hosszúságú (az origótól mért távolságuk 1) és egymásra merőleges; ilyenkor azt mondjuk, hogy triviális bázist alkotnak a térben. Ez ugye azt sugallja, hogy ugyanazt a vektort egy másik bázisban is felírhatnánk, csak akkor az új koordinátái annak a másik bázisnak a vektoraival vett kombinációban szereplő számok lennének. Ennél az ún. báziscserénél az egyenletrendszer megoldási módszerei kapcsán még kicsit elidőzünk.

Egyelőre elég annyit látnunk, hogy azoknak a négyzetes mátrixoknak van inverzük, melyeket lineárisan független vektorok alkotnak.

Eszerint az összes típusú egységmátrixnak van inverze, de a fenti u, v, w vektorokból soronként vagy oszloponként összerakott 3x3-as mátrixnak nincs inverze.