Gondoljunk vissza arra az elképzelésünkre, hogy n darab lineárisan független vektor valójában a vektorok hosszától és egymással bezárt szögétől függően egy n-dimenziós testet határoz meg, melynek van térfogata. A triviális bázist alkotó i, j, k vektorok pontosan egy egységnyi élű kockát határoznak meg a térben, melynek azonnal tudjuk az előjeles térfogatát a háromdimenziós Descartes-féle koordinátarendszerben. Ha három térbeli vektor nem független, akkor egy síkban maradva nem határoznak meg egy térbeli testet, tehát ilyekor a dimenziónak megfelelő térfogat 0. Az előző feltételt átfogalmazva: azoknak az nxn-es mátrixoknak van inverzük, melyek vektorai nem nulla térfogatú n-dimenziós testet alkotnak.

Rendeljünk a négyzetes mátrixhoz egyértelműen egy valós számot, ami pontosan ennek az előjeles térfogatnak lesz a mérőszáma! A számot elnevezzük determinánsnak, ami arra fog szolgálni, hogy lássuk róla: nulla-e vagy sem.

Arra számítunk, hogy:

• az egységmátrixok mindegyikének 1 lesz a determinánsa,
• az előbbi u, v, w függő vektorokból álló mátrixnak 0 lesz a determinánsa.

Az igazság az, hogy a hivatalos definíció helyett az ún. kifejtési tétel segítségével határozzuk meg, hogyan számítsuk ki a mátrix determinánsát.

Az A négyzetes mátrixnak a determinánsa a det A vagy az ½A½jelölésű valós szám, melyet úgy kapunk, hogy a mátrix tetszőlegesen kiválasztott sorának (vagy oszlopának) elemeit a hozzájuk tartozó algebrai aldeterminánssal megszorozzuk, majd a szorzatokat összeadjuk.

Formálisan:

ahol az algebrai aldetermináns jelentése a következő:

az a_ij elemhez tartozó aldeterminánst úgy kapjuk meg, hogy vesszük az A_nxn mátrix i. sorának és j. oszlopának elhagyásával keletkező (n-1)x(n-1)-es mátrix determinánsát. Az aldetermináns attól algebrai, hogy azt még beszorozzuk (-1)^i+j-vel, vagyis akkor kell előjelet váltani, amikor az i+j index-összeg páratlan.

A számításra azt mondjuk, hogy a mátrixot kifejtettük a k. sora (vagy oszlopa) szerint.

Megegyezünk abban, hogy az ún. 1x1-es mátrix determinánsa maga a skalár, ezzel együtt tehát kijelenthető, hogy maga a kifejtési tétel egy rekurzív számítást ad tetszőleges méretű mátrix determinánsának a kiszámítására.

Lássuk a 2x2-es mátrix kifejtését az 1. sora szerint!

Végül a főátlós elemek szorzatából levonjuk a mellékátlós elemek szorzatát.

Nézzük a 3x3-as mátrix kifejtését szintén az 1. sora szerint!

Láthatjuk, hogy a műveletvégzést visszavezettük 3 darab 2x2-es aldetermináns kiszámolására, melyek kifejtése útján 6 darab háromtagú szorzat összegéhez jutunk, mely szorzatok összes tagjára igaz, hogy egyedül állnak a saját sorukban és oszlopukban.

Lássuk a 3x3-as egységmátrix determinánsát!

Mivel az 1. sorban a másik két elem 0; a velük való szorzat bármilyen aldetermináns esetén is 0 lesz; tehát máskor is ragaszkodjunk az olyan sor vagy oszlop szerinti kifejtéshez, melyben a lehető legtöbb 0 van.

Az u, v, w függő vektorokból álló mátrix determinánsa valóban 0.

A determináns tulajdonságai

a) Ha egy mátrix valamelyik sora csupa nulla, akkor a determinánsa 0.

b) Ha egy mátrix valamely sorát végigszorozzuk egy k, nem 0 valós számmal, akkor a determinánsának értéke k-szor nagyobb lesz.

c) A mátrix valamely sorához hozzáadva egy másik sor k-szorosát (k valós szám), a determináns értéke nem változik.

d) A determináns akkor és csak akkor lesz 0, ha a mátrix sorvektorai lineárisan függők.

e) A mátrix transzponáltjának determinánsa megegyezik a mátrix determinánsával, tehát az összes állítás igaz a mátrix oszlopvektoraival megfogalmazva is.

Visszatérve az inverz-mátrix létezésének feltételéhez: csak olyan négyzetes mátrixnak van inverze, amelynek a determinánsa nem 0.

A b) és c) pont értelmében érdemes egy tetszőleges mátrixot előbb úgy átalakítani, hogy az egy felsőháromszög formájú legyen (a főátló alatt csupa 0 áll), mert azt mindig az 1. oszlop szerint kifejtve könnyen és típustól függetlenül ugyanúgy számolhatjuk ki a determinánsát. Fejlesztőknek javasolt az előző determináns átalakításokat követő kifejtése.