Minden emberhez hozzárendelve a hajszálai számát, elvégzünk egy olyan megfeleltetést az ember és a természetes számok között, mely szerint az összes ember azzal az egyetlen számmal lesz összerendelve, ami az ő hajszálainak a számával egyenlő. Egyszerű szóhasználattal: minden ember meghatároz egy számot, a saját hajszálainak számát. (A függvénytanban a 0 is természetes szám.)

Formálisan: az E halmaz elemei emberek, a H halmaz elemei természetes számok. Az f függvény az a recept vagy utasítás (latin eredetű szóval funkció), mely szerint bármely e emberhez valamelyik n számot rendeljük: f:e→n. Ha az f függvényt egy hajszámoló berendezésnek képzeljük, akkor abba beküldve az e embert, a berendezés kiküld egy n számot; formálisan: f(e)=n.

Természetesen több embernek is lehet ugyanannyi hajszála, tehát fordítva nem lenne igaz, hogy a szám határozza meg az embert. Úgy is mondhatjuk, hogy az embertől függ a hajszálainak száma, nem pedig fordítva.

Ha az egyik halmaz minden eleméhez valamely szempont szerint egyértelműen hozzárendeljük a másik halmaz pontosan egy elemét, akkor a konkrét szempont szerint az egyik halmaz összes elemét egyértelműen leképeztük a másik halmaz elemeire.

Vannak példák kölcsönösen egyértelmű leképezésre is. Például a biztosított autók és az érvényes biztosításaik között, hiszen minden biztosított autónak egyetlen érvényben lévő biztosítása lehet, és minden egyes autóbiztosítás egy autóra vonatkozik. Ilyen esetben a 2 dolog képes egymást egyértelműen meghatározni, vagyis bármelyik függ a másiktól.

Formálisan: az A autók halmaza és a B biztosítások között 2-féle függvény is felírható, hiszen az egyik meghatározza az a autó b biztosítását, a másik pedig az adott b biztosításhoz adja meg pontosan az a autót. Tehát fennáll a következő 2 egyértelmű leképezés: f: a→b és g: b→a. Ha ezeket a függőség nyelvén fogalmazzuk meg, akkor f(a)=b és g(b)=a; vagyis a 2 függvény egymás után történő alkalmazása egymás után kiadja az eredeti bemenetet: g(f(a))=g(b)=a illetve f(g(b))=f(a)=b. Az ilyen függvények egymás dolgát (funkcióját) visszaállítják, hivatalosan inverzei egymásnak.

Gondoljuk meg: ha nemcsak a biztosított autók, hanem az összes autó halmazából indultunk volna ki, akkor nem lenne igaz, hogy az autók mindegyikéhez találnánk egyértelmű biztosítást. Ekkor nem létezne az f, csak a g leképezés.

A függvényfogalom definíciójából 2 feltételt kell tudatosítani:

• egyrészt a kiindulási halmaz minden elemére elvégezhető a hozzárendelés,
• másrészt a hozzárendelés egyértelmű, vagyis az utasítás szerint bármely bemenő elemhez pontosan egy kimenő elem tartozik.

Ezért hívjuk a függvény kiindulási elemeinek halmazát értelmezési tartománynak, a függvényértékekét pedig értékkészletnek.

Ha azt is végiggondoljuk, hogy nem az összes természetes szám válik függvényértékké a hajszálak emberekhez való hozzárendelésénél, akkor megállapíthatjuk, hogy a függvényértékeknél jóval bővebb a H halmaz, vagyis a leképezés a H halmazba, nem pedig a H halmazra történik.

A biztosítások g leképezése is az összes autók halmazába, de a biztosított autók halmazára történik.

További példák függvények létrehozhatóságára: