A differenciálszámítás másik fontos alkalmazása előtt el kell árulnom, hogy a természetes exponenciális függvény nagyon kellemes, miután a deriváltja is önmaga. (e^x)'= e^x

A következő képlet azt mondja, hogy egy „nehéz" f(x) függvény x=a pontbeli függvényértékének ismeretében és ugyanott az összes deriváltja értékének ismeretében az a-tól nem akármilyen messze eső x helyen kiszámolható lesz a függvényérték egy végtelen sor összegeként:

Közelebbről megnézve egy x-hez tartozó f(x) a bemenő x hatványainak előírás szerinti konstansokkal vett végtelen kombinációjaként állítható elő.

Nézzük az e^x hatványsorát!

Mivel a függvény összes deriváltja önmaga, és a függvényérték egy kiválasztott (a=0) pontban mindig 1, így a végtelen összeg:

 =  

(tudomásul véve, hogy a 0. derivált maga a függvény a matematikában)

Állítólag a választott ponttól bármilyen messze lévő x-re a konkrét numerikus sornak van összege, azaz például  e^1/2= .

Természetesen ennek valamennyire „jó közelítésével" kell mindig beérnünk; egy n-edfokú polinommal (amikor az összegzés 0-tól n-ig megy):

e^1/2 ≈

Tehát most az x hatványainak valamilyen számszorosai vannak összegezve n=4-ig. Egyébként a közelítés hibája az első elhagyott tag segítségével becsülhető.

Ugyancsak az előírt hatványok megfelelő összegzésével írható fel a sin x és cos x is, melyeknek szintén végtelen nagy az ún. konvergenciasugaruk, és az ún. a=0 körüli sorfejtésük minden x-re a kívánt függvényértékhez tartó sort eredményezik.

A bevezetőben már emlegetett sin(x), cos(x), exp(x) függvényhívásokkal tehát az x hatványainak nagyjából a függvény egyetlen pontbéli deriváltjainak értékével vett kombinációja összegződik a megkövetelt pontosságot kielégítő valahány tagig.