Amikor a kimenetelek felsorolható értékeinek ismeretében az a kérdés, hogy várhatóan mekkora is lesz a megfigyelt paraméter értéke, akkor az értékek súlyozott átlagával válaszolunk rá. Tehát a változó minden értékét rendre beszorozzuk a hozzá tartozó súllyal, és a szorzatokat összegezzük.

Egy X valószínűségi változó várható értékét - E vagy M összesítő függvényként - véges vagy megszámlálhatóan végtelen kimenetelű esetben a valószínűséggel súlyozott értékek összegeként számítjuk ki:

ahol x_i az i. kimenetel értéke, a p_i pedig a hozzátartozó valószínűség: P(X=x_i).

 

Az 1. kísérletbeli X várható értéke: 3.5 (1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6 =21/6). Igaz, sohasem dobunk 3.5-öst 1 kockával, de az egyforma súlyok miatt a dobható számok számtani közepe az elméleti várható érték.

A 2. kísérletbeli Y várható értéke: 0.5 (1×3/6+0×3/6 =3/6). Igaz, sohasem dobunk 'félig páros és félig páratlan'-t, de az egyforma súlyok miatt a lehetséges értékek számtani közepe ez az elméleti várható érték.

Ne feledjük!

• A várható érték nem azt mondja meg, mi fog történni, hanem azt, hogy mekkora valószínűséggel mi történhet.
• Amint a súlyok helyébe százalékosan írjuk be a valószínűségeket, ismerős szófordulatnak fog tűnni a matematikától viszolygók számára is az értékek azzal való súlyozása az átlag-érték meghatározása céljából.

A Bevezető első történeti példájában feldobunk 3 érmét, és megfigyeljük a dobott fejek számát.

9. ábra

Nézzük vissza a fejek számának eloszlását!

A megfigyelés tárgyát képviselő valószínűségi változó legyen: W

 

W értékei (xi)	0	1	2	3
Elemi események F: fej, I: írás	III	FII, IFI, IIF	FFI, FIF, IFF	FFF
Valószínűségek (pi)	1/8	3/8	3/8	1/8

 

Megjegyezzük, hogy a W eloszlás-táblázata csak az első és utolsó sorát jelenti a fenti táblázatnak. W várható értéke az ún. súlyozott átlag (0×1/8+1×3/8+2×3/8+3×1/8 = 12/8), azaz: 1.5. Azt mondjuk, hogy várhatóan másfél fejet dobunk majd.

Ugyanez a véletlen kísérlet - 2 játékossal - szólhat a nyeremény összegének megfigyeléséről. Legyenek a kimenetelek: 2 fej esetén + 4000 pénz az egyik játékosnak, egyébként pedig 4000 pénz a másik játékosnak.

Az egyik játékos nyeremény-eloszlása (ami csak a nyereményösszegek előjelében különbözik a másikétól):

A nyeremény összege várhatóan: 4000*3/8 + (-4000)*(5/8) = -1000

vagyis az egyik-nek így kedvezőtlen a játék; a másik-nak éppen ezért kedvező.

Igazságos lenne a játék, ha a várható nyeremény 0-ra jönne ki.

A pétervári játék várható nyereményének felírásához a nyereményösszeg (NY) értékei a kimenetelek, melyekhez tartozó valószínűségek az ½ hatványai, mert a k. dobásra akkor lesz fej, ha előtte (k-1)-szer írás volt.

 

NY értékei:	2	22	...	2k	...
valószínűségek:	½	(½)2		(½)k

E(NY)= 2*1/2 + 4*1/4 + ... = 1+1+... = ∞

Tudnunk illik, hogy semmilyen bank nem fizeti ki a végtelen nagy összegű nyereményt. Ha a bank bevallja, melyik az a 2 hatvány (pl. a 2-nek az m-dik hatványa), amit még kifizet, akkor a végtelen sor már csak m db 1-esből és egy 1-be tartó geometria sorból állna, azaz a várható nyeremény (m+1) lenne.

Tehát nem érne meg a játék 11 pénznél többet, ha a bank maximum a 2¹⁰ összeget fizeti ki, hiába sikerülne a 10. dobástól jóval túl dobni az 1. fejet.