Határozzuk meg a 2 görbe által összezárt területet:

Egy egyenes és egy parabola által határolt területet kell kiszámolnunk a 2 függvény metszéspontja között. Vázoljuk!

1. A metszéspontok meghatározása az f(x)=g(x) egyenlet megoldása útján történik; rendezése után a 2 gyök: x₁=1 és x₂=4
2. Amint megkerestük a 2 metszéspont helyét, eldöntjük, melyik függvény van a másik felett a 2 metszéspont között, ugyanis majd a nagyobbik alatti területből kell kivonni a kisebbik alatti területet. Most minden x( x₁,x₂) intervallumon: f(x) < g(x)
3. Mivel a gyökök között az f(x) a g(x) alatt halad , ezért az (1,4) közötti határozott integrálját a g(x)-f(x) különbségnek kell venni:

Az ábráról leolvasható, hogy az előjeles terület ellenére helyes lesz „a nagyobbik alatti területből levont kisebbik alatti terület" módszer.

A metszéspontok között a parabola alatti lila terület az x tengely feletti pozitív és alatti negatív darabból áll, az egyenes alatti rácsozás szintén az x tengely feletti pozitív és alatti negatív darabból állna, amit most kivonunk, tehát az előjelek megfordulnak. Ezáltal a kétféle színezés egymást eltünteti, az egyfélék maradnak, mégpedig a lila a pozitív előjelével, és a rácsos a megváltozott előjelével szintén pozitív szám lesz, ami a ténylegesen összezárt terület nagyságát adja meg.

4. Rendezve és tagonként meghatározva az alapintegrálokat azt kapjuk, hogy

A kapott alapintegrál függvényértékeinek a megváltozását kell venni a felső határ és az alsó határ helyén:

A görbe vonalú terület nagysága pontosan: 4.5

Ha a parabola alatti területet integrálással, de az egyenes alatti területet 2 derékszögű háromszög területeként hagyományosan számítanánk ki, ne felejtsünk el a hozzájuk tartozó intervallumok valódi végpontjairól és a területek megfelelő előjeléről gondoskodni.

Megjegyzések

1. A függvény lehetne több változós, tehát akár egyfajta indoklásként fogadják el, hogy az integrálása alkalmával tudatni kell, melyik változó szerinti derivált függvényéről van szó. A fenti Newton-ról és Leibniz-ről is elnevezett formula egzakt alakja: , ahol f(x)=F'(x), amennyiben F(x) létezik.
2. Elnézést kérek azoktól a kollégáktól, akik felháborodnak a tudománytalannak tűnő mondataim miatt, hiszen a legfontosabb fogalmak definíciói helyett a földi halandók számára készült, emészthető példálózások megírása egyáltalán nem volt számomra könnyű, de meggyőződésem, hogy hasznos és jelen képzésben bőven elfogadható. Mentségemre szolgáljon, hogy a newtoni kalkulust is több mint 100 évig egész jól használták a határérték tudományos megalapozása nélkül.
3. A matematika legfiatalabb diszciplínájában óriásai jelentősége van a jelölésben megkülönböztetett kis f és nagy F függvényeknek, mint sűrűség- illetve eloszlás-függvényeknek. A valószínűségszámítás elméleti megalapozása a végtelen kimenetelű megfigyelések kiterjesztésével nem történt volna meg a mérték fogalma nélkül.
4. Amikor az f(x) annyira összetett, hogy nem tudjuk meghatározni az alapintegrálját, kénytelenek vagyunk közelítéssel kiszámolni az f(x) görbe alatti területet az [a,b] intervallum felett, mégpedig

• vagy az egyre finomodó beosztáshoz tartozó téglalapok területeinek összegével (ahogy az integrálhatóság definíciója azt bevezeti)
• vagy a tűpróba segítségével (a geometriai valószínűség fogalmához igazodva a kedvező terület és az egész terület hányadosa egész jól közelítheti a kívánt területre esés valószínűségét).

Nagyon nagyszámú (x, y) véletlenszám-párt generálunk a lehetséges, téglalap alakú alapterületről. Lépésenként eldöntjük, hogy az aktuális (x, y) a függvényre vagy a függvény alatti területre, mint kedvező területre esik-e. Megszámolva a feltételt kielégítő pontpárokat, majd elosztva azok számát az összes pontpár számával megbecsülhetjük a kedvező területre esés valószínűségét az egész alapterülethez viszonyítva. Az alapterület nagyságával való beszorzás nagyszámú kísérlet (tűdobálás) esetén közelítő értékkel szolgálhat a görbe alatti terület kiszámításához.