Egy B nem 0 valószínűségű eseményhez képest akarhatjuk tudni az A esemény valószínűségét, vagyis azt, hogy az A a B bekövetkezésének hányadrészében következik be.

Definíció szerint:  (ahol P(B)>0)

Példa: 1 dobókockát feldobva mi a valószínűsége a 2-es dobásának, feltéve, hogy a dobott szám páros?

P(2-est dobás feltéve, hogy páros a dobás)=P(2-es és páros dobás) / P(páros dobás)

Jelen esetben a 2-es dobás és a páros dobás metszete a 2-es dobás (ami maga után vonja a páros dobás bekövetkezését), a kívánt hányados az 1/6 és a 3/6 hányadosa, vagyis 1/3; jelentése szerint a párosak közül 1/3 eséllyel lesz a dobás 2-es.

Vegyük észre, hogy

• a független A és B eseményekre a feltételes valószínűség megegyezik a feltétel nélküli valószínűséggel: P(A feltéve B)=P(A)
• a definíció algebrai átalakítása előállítja a közismert szorzási tételt: P(A∩B)=P(B)*P(A feltéve B)

A szorzási tétel általánosítását biztonsággal használtuk a középiskolában is a visszatevés nélküli esetekben:

Példa

P(32 lapos pakliból királyt, majd pedig ászt húzunk)=P(1.lap király)*P(2.lap ász feltéve, hogy az 1.lap király) = (4/32) * (4/31)

A Bevezető második történeti példájában az igazságos felosztásról beszéltünk.

Vegyük azt az esetet, amikor 6 nyert játszma után hirdetnek győztest, de az A játékos 3 és a B játékos 5 nyert játszmája után meg kell szakítani a játékot, és fel kell osztani a nyereményt. Legrosszabb esetben még 3 játszmát kellene lejátszani, melyből az A kizárólag egyetlen esetben nyerhet, ha mind a 3 játszmát megnyeri.

A 4 elemi esemény nem egyformán valószínű, és ezekből csak egyszer nyerhet az A. A 2 játékos azonos eséllyel nyeri meg bármelyik játszmát, de annak feltétele, hogy a játék folytatódjon az, hogy egyik játékosnak sincs meg a 6 nyert játszmája. Az A,B játékosok 3:5 állás után megszakított játékának a nyereményét tehát 1:7 arányban kell igazságosan felosztani A és B között.

Javaslat: a feltételes történetek ábrázolásához fa-szerkezetű gráf felrajzolását ajánlom, ahol az egyes csúcsokban dönthetünk a folytatásról, és az abban bekövetkezhető összes kimenetellel ágaztatjuk el a megfigyelést, az élekre a valószínűségeket felírva.

5. ábra

Figyelem: elágazás után mindig feltételes valószínűségekről van szó, csak ebben az  esetben A-t és B-t nem befolyásolja 1 játszma (nem a játék!) megnyerésében, hogy az előzőt megnyerte-e.

P(A nyeri a 2. játszmát feltéve, hogy az 1. játszmát megnyerte)=P(A nyeri a 2. játszmát)

Nézzük meg, hogy B nyerése többféleképpen is bekövetkezhet. Amikor a több szakaszból álló útvonal végére a valószínűségek szorzásával jutunk el, akkor a szorzási tételt alkalmazzuk. Nem fontos tudni róla, hogy a teljes valószínűség tételt használjuk, amikor a többféle útvonal lehetősége miatt az alternatív útvonalak valószínűségeit összeadjuk.

P(A nyeri a játékot)=(1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8

P(B nyeri a játékot) = (1/2) + (1/2)* (1/2) + (1/2)* (1/2)* (1/2) = 7/8